PBR的基础知识，学起来也是相当枯燥的一章。

基于物理的渲染理念 ​

关于基于物理的渲染理念，其实跟图形学中对几何体的建模尺度有一定关联。图形学中，对几何体外观的建模，总会假设一定的建模尺度和观察尺度：

• 宏观尺度（Macroscale），几何体通过三角形网格进行建模, 由顶点法线（Vertex Normal）提供每顶点法线信息
• 中尺度（Mesoscale），几何体通过纹理进行建模，由法线贴图（Normal Map）提供每像素法线信息
• 微观尺度（Microscale），几何体通过BRDF进行建模，由粗糙度贴图（Roughness Map）配合法线分布函数，提供每亚像素（subpixel）法线信息

传统光照模型中，一般只将几何体建模到中尺度的法线贴图（Normal Map）层面。虽说Blinn-Phong等分布也是基于微平面理论推导而来，但并没有配套粗糙度贴图（Roughness Map）为其提供亚像素级精度的细节，而且传统的NDF一般都没有经过归一化，不满足能量守恒，容易出现失真。

而在基于物理的渲染工作流中，通过将粗糙度贴图（Roughness Map）与微平面归一化的法线分布函数结合使用，将需渲染的几何体的建模尺度细化到了微观尺度（Microscale）的亚像素层面，对材质的微观表现更加定量，所以能够带来更加接近真实的渲染质量和更全面的材质外观质感把控。如下图：

微观几何 ​

光与表面之间的交互 ​

我们从图中可以看出如下这个在这里发生如下操作：

• 反射(Reflection)：在物体表面直接反射，我们一般称之为镜面反射。
• 折射(Refraction)：从表面折射入介质的光，会发生吸收(absorption)和散射(scattering)等，而介质的整体外观由其散射和吸收特性的组合决定。
• 散射(Scattered)：折射率的快速变化引起散射，在介质内部发生会造成光的方向会改变到各个方向。散射最终被视作的类型与观察尺度有关。散射距离：入射点到出射点的距离。观察像素： 屏幕上 1 个像素，对应物体表面真实世界的物理宽度
  • 次表面散射(Subsurface Scattering，SSS)：观察像素小于散射距离。光子在内部微小颗粒之间来回反弹，不同波长光被吸收程度不同，会产生颜色偏移（比如皮肤红光穿透更深，背光泛红）; 散射后的光子从表面另一个位置穿出，形成柔和漫反射光，这部分就是次表面散射光。 关键特征：入射点≠出射点。普通 BRDF 只能描述「同一点入射、同一点出射」的表面反射，完全无法模拟这种跨位置透光效果，因此次表面散射需要用 BSSRDF（双向次表面反射分布函数） 描述，是 BRDF 的扩展。
  • 漫反射(Diffuse)：观察像素大于散射距离，散射被视作漫反射。局部着色模型处理即可。
• 透射(Transmission)：入射光经过折射穿过物体后的出射现象。一般在透明物体出现，需要引入BTDF来单独处理。
• 吸收(Absorption)：具有复折射率的物质区域会引起吸收，具体原理是光波频率与该材质原子中的电子振动的频率相匹配。复折射率（complex number）的虚部（imaginary part）确定了光在传播时是否被吸收（转换成其他形式的能量）。发生吸收的介质的光量会随传播的距离而减小（如果吸收优先发生于某些波长，则可能也会改变光的颜色），而光的方向不会因为吸收而改变。任何颜色色调通常都是由吸收的波长相关性引起的。

光与不同物质之间的交互 ​

一半分为两种情况，与金属物体的交互和与非金属物体的交互。

与金属物体表面交互时，折射光会立刻被吸收，能量被自由电子吸收，不会散射出来；

与非金属物体表面交互时，折射光就表现为常规的介质交互，有吸收也有散射，折射光会在经过部分吸收后，从表面重新射出。

次表面散射 ​

在渲染中一般将表面反射认作为specular，而diffuse实际上与次表面散射是同一种现象，本质都是次表面散射的结果。唯一的区别是相对于观察尺度的散射距离。散射距离相较于像素来说微不足道，可以近似于入射点=出射点，次表面散射便可以近似为漫反射。也就是说，光的折射现象，建模为漫反射还是次表面散射，取决于观察的尺度。

看左上角的，绿色的大圈就认为是一个像素映射到平面后的大小，这个时候所有进入表面内部都是在这个圈内出射的，这部分由于距离入射点很近所以就直接认为是从入射点出去的，也就是右上角的图，这部分就是可以近似为常见的漫反射，用局部着色模型处理。

下方的图这个内部光线出去时的出射点距离入射点就比较远了，就超出了绿色圈的范围，如果为了更加真实的着色效果。这部分就需要单独作为次表面散射来处理。

BXDF ​

双向散射分布函数(Bidirectional Scatter Distribution Function,BSDF)。它由两部分构成：双向反射分布函数(Bidirectional Reflectance Distribution Function,BRDF)和双向透射分布函数(Bidirectional Transmission Distribution Function,BTDF)。BSSRDF(bidirectional subsurface scattering reflection distribution function，双向次表面散射反射分布函数) 在上述这些BxDF中，BRDF最为简单，也最为常用。因为游戏和电影中的大多数物体都是不透明的，用BRDF就完全足够。而BSDF、BTDF、BSSRDF往往更多用于半透明材质和次表面散射材质。如下图所示。

BRDF 双向反射分布模型 ​

Bidirectional Reflectance Distribution Function

描述表面如何将入射光反射到各个观察方向的函数，已知法线，输入入射方向、出射方向，输出反射能量比例。

BRDF $f_r(l,v)$ 反射能量比例由以下公式得到：

$f_r$ 中的 $r$ 的含义是 Reflection，表示这是反射函数。其中 $l$ 是入射光线方向， $v$ 是出射视角方向， $L_o(v)$ 表示上半球所有方向的入射光线的贡献得到的出射方向的反射辐射率（Radiance），而 $d{L}_o(v)$ 表示来自于光线 $l$ 贡献的反射辐射率（Radiance）; $E(l)$ 是指表面接受到的来自上半球所有方向的入射光线贡献的辐照度（Irradiance） 总和，而 $dE(l)$ 特指来自于光线 $l$ 方向贡献的辐照度（Irradiance）。

$f_r(l,v)$ 由两部分组成：漫反射项 $f_{diff}$ 和 镜面反射项 $f_{spec}$ ，即：

$k$ 表示各部分的比例。

漫反射项 ​

Lambertian BRDF ​

最基础的漫反射是使用Lambert漫反射模型或者是半Lambert漫反射模型。但正常的Lambert漫反射无法满足PBR的能量守恒原则。于是引入了Lambertian漫反射模型。

Lambertian假设：假设光线进入内部后，在无限小 的距离内就被完全均匀地打散并从同一个点射出来。因为散射极其充分，所以出射光的方向与入射方向彻底无关，只跟有多少总能量（反照率颜色ρ）有关。

公式如下：

公式极其简单， $\rho$ 是表面的基础色（反照率）， $\pi$ 是为了保证”能量守恒“而作的归一化处理，也就是说反射出的能量不能大于接受的能量。结果是一个常数。

推导：

首先漫反射是一个均匀向各个方向反射的一个现象。因此漫反射的BRDF一定是一个常数，假设入射光是均匀且遍布整个半球方向，即也是一个常数，可以得到：

这里 $\mathrm{\Omega }$ 是指整个上半球，因为是对一个抽象的入射方向 $d{\omega }_i$ 积分，所以使用了抽象的范围表示积分区间。

由于假设入射光是均匀且遍布整个上半球方向，所以 $L_o$ 与方向无关且等于 $L_i$ 。或者换种说法，假设表面是一个纯白色的粗糙表面，白色 $\rho$ 为1，也就是暂不考虑 $\rho$ 值，纯白色不吸收任何光，所以入射亮度会等于出射亮度。所以可以从等式两边消去：

因为 $d\omega =\frac{dA}{r^2}$ 和 $dA=(r·d\theta )(rsin\theta ·d\varphi )=r^{2}sin\theta d\theta d\varphi$ 得到 $d\omega =sin\theta d\theta d\varphi$ ，带入得：

这里因为积分的对象改变了，所以相应的积分区域也会发生了改变。 $\varphi$ 是水平角，有360°，也就是 $2\pi$ ； $\theta$ 是垂直角，因为是半球，所以只有90°，也就是 $\frac{\pi }{2}$ 。

根据正弦二倍角公式： $sin2\theta =2sin\theta cos\theta$ 得到 $sin\theta cos\theta =\frac{1}{2}sin2\theta$ ，代入上式得：

因为 ${\int }_0^{2\pi }d{\varphi }_i=2\pi$ ， ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}sin2{\theta }_{i}d{\theta }_i=-\frac{1}{2}\times cos(2\times \frac{\pi }{2})-(-\frac{1}{2})\times cos(2\times 0)=1$

所以，最后化简为：

即：

由于之前我们视为纯白色表面，没有考虑能量被吸收，将反照率考虑进来之后，得到最终的漫反射BRDF：

Lambertian BRDF不仅性能好，而且和复杂模型的效果也非常接近。我们这里的漫反射项的计算没有考虑材质表面粗糙度以及材质表面的镜面反射对漫反射的影响。迪士尼和 Oren-Nayar 的 BRDF 模型考虑了上述影响，他们的模型会在掠射角产生逆向反射。我们这里不这样做首先是因为这样做会产生额外的计算代价，但效果提升却不太明显。其次是复杂的漫反射模型也让 IBL 和球谐光照的实现变得更加困难。

局限性：

• 太“平”：因为亮度不随视角变化，纯Lambertian材质的立体感很强，但缺乏真实感（真实物体表面多少有些微粗糙变化）。
• 无法表现边缘透光：当强光从背后照射时，Lambertian只能算出背面是黑的，但像耳朵、手指 这类SSS材质，边缘会透出红光——这就必须用我们之前说的次表面半径 参数来计算，而不是用简单的 $\frac{\rho }{\pi }$ 了。

Disney 漫反射 BRDF ​

上面我们说过了，传统的 Lambertian BRDF就是简单的 $\frac{\rho }{\pi }$ （能量守恒下的常数），但这在物理上是不准确的。

于是迪士尼根据真实数据发现粗糙的材质（如布料、未抛光木材）在掠射角（视线贴着表面） 看时，反射率并不是恒定的，而是明显变亮了（称为“回射效应”，Retro-reflection）。

于是借助了Schlick 近似（Schlick 1994年提出的菲涅耳近似），提出了 Disney Diffuse（漫反射部分的 Schlick 菲涅耳近似）：

其中 ${\theta }_i$ 是入射光线与法线的夹角， ${\theta }_o$ 是视角方向（出射光线）与法线的夹角， $F_{D90}$是漫反射在掠射角（90度）时的反射率。

光照角度因子 $(1+(F_{D90}-1)(1-cos{\theta }_i{)}^5)$ ：

• 当光线垂直 照射 $cos{\theta }_i=1$ 时， $(1-1{)}^5=0$ ，这个因子变成 $1+0=1$ ，不影响基础色。
• 当光线倾斜 照射 $cos{\theta }_i\to 0$ 时， $(1-0{)}^5=1$ ，这个因子变成 $1+(F_{D90}-1)=F_{D90}$ ，漫反射强度会变成 $F_{D90}$ 倍。

视线角度因子 $(1+(F_{D90}-1)(1-cos{\theta }_o{)}^5)$ ：

• 当视线垂直 观察 $cos{\theta }_o=1$ 时， $(1-1{)}^5=0$ ，这个因子变成 $1+0=1$ ，不影响基础色。
• 当视线倾斜 观察 $cos{\theta }_o\to 0$ 时， $(1-0{)}^5=1$ ，这个因子变成 $1+(F_{D90}-1)=F_{D90}$ ，漫反射强度会变成 $F_{D90}$ 倍。

其中 $F_{D90}$ 通常是由粗糙度推导得出，公式如下：

其中 $roughness$ 是粗糙度，注意要与后面的 $\alpha$ 区分开， $\alpha$ 是 $roughnes{s}^2$ ； ${\theta }_h$ 是光线方向与视角方向的半角方向与法线的夹角。

这是一个经验公式，故不需要什么推导。

镜面反射项 DFG项 ​

Cook-Torrance Specular DFG的应用 ​

Torrance-Sparrow基于微表面理论，用后文将要讲述的三个函数建立了镜面反射BRDF模型。这个模型后来由Cook-Torrance引入计算机图形学，也被称为Cook-Torrance模型。Cook-Torrance BRDF 具体公式：

其中 $v$ 为视角方向（反射方向）， $l$ 为入射光方向， $n$ 为表面法线， $h$ 为半角方向

但这种表达方式在物理学上不太严谨，因为我们这里的入射光和反射光准确来说都说立体角方向，所以应该使用 ${\omega }_i$ 表示入射立体角方向， ${\omega }_o$ 表述反射立体角方向（视角方向），下标 $i$ 和 $o$ 表示 incoming（入射）和outgoing（出射）； ${\omega }_h$ 表示半角立体角方向，也是微表面法线所限制在的立体角范围，有以下公式：

其中， ${\theta }_i$ 表示入射光方向 ${\omega }_i$ 与宏观表面法线 $n$ 的夹角， ${\theta }_o$ 表示反射方向 ${\omega }_o$ 与宏观表面法线 $n$ 的夹角。 $F$ 表示菲涅耳反射项， $G$ 表示几何函数、阴影遮蔽函数， $D$ 表示法线分布函数。这三个具体都是什么，我们之后会说到。

推导：

假设一束光照射到一个微表面上，入射光方向为 ${\omega }_i$ ，视角观察方向为 ${\omega }_o$ ，对反射到 ${\omega }_o$ 方向的反射光有贡献的微表面法线为半角立体角向量 ${\omega }_h$ 。

根据辐射率与辐射通量之间的公式 $L=\frac{d\mathrm{\Phi }}{d\omega d{A}^{\perp }}$ 以及 $d{A}^{\perp }=cos\theta dA$ 得：

其中 $dA({\omega }_h)$ 是微表面法线在半角立体角 ${\omega }_h$ 中的微分微表面面积， $d{A}^{\perp }({\omega }_h)$ 为 $dA({\omega }_h)$ 在与入射光线垂直的面上的投影。 ${\theta }_h$ 为入射光线 ${\omega }_i$ 与微表面朝向 ${\omega }_h$ 的法线的夹角，如下图

把 $dA({\omega }_h)=D({\omega }_h)d{\omega }_{h}dA$ 带入得到：

微表面是光学平坦表面，所以反射光线遵循菲涅耳定理，则反射光的辐射通量为：

根据辐射率与辐射通量之间的公式 $L=\frac{d\mathrm{\Phi }}{d\omega d{A}^{\perp }}$ 以及 $d{A}^{\perp }=cos\theta dA$ 还有以上公式得：

由BRDF定义和 $dE=Lcos\theta d\omega$ 得到：

我们知道在渲染方程 $L_o({\omega }_o)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f({\omega }_i,{\omega }_o)L_i({\omega }_i)cos{\theta }_{i}d{\omega }_i$ 是对 $d{\omega }_i$ 的积分，所以方程中不能存在 $d{\omega }_o$ 和 $d{\omega }_h$ 作干扰，我们需要对 $f_{spec}({\omega }_i,{\omega }_o)$ 做化简，把 $d{\omega }_o$ 和 $d{\omega }_h$ 消去。希望可以找到 $\frac{{\omega }_h}{{\omega }_o}$ 的关系。

如上图所示，入射光与微表面相交于 $O$ 点，与单位上半球相交于 $I$ 点，出射光线与h单位上半球相交于 $R$ 点。由于微表面都说镜面反射，所以法线等同于半角向量 $h$

由立体角的定义 $\omega =\frac{dA}{r^2}$ 可得，反射立体角 $d{\omega }_o$ 等于反射立体角和单位上半球的相交 $d{A}_o$ 的面积大小。同理，半角（法线）立体角 $d{\omega }_h$ 等于半角立体角和单位上半球相交的 $d{A}_h$ 的面积大小。故求 $\frac{{\omega }_h}{{\omega }_o}$ 等于求 $\frac{d{A}_h}{d{A}_o}$ ，也就是两个相交面积的比值

连接 $IR$ 相交半角（法线）方向 $h$ 于点 $P$ ，由于是半角向量，我们轻松可得 $IR=2IP=2PR$

在这个图中，我们还需要理解一件事情，半角（法线）立体角 $d{\omega }_h$ 所形成的那个圆锥中，法线可能是其中的任意一条线，当法线为圆锥最左边的边线时，出射方向相应的也会变成反射立体角 $d{\omega }_o$ 所形成的圆锥体的最左边的的边线。同理，法线是圆锥最右边的边线也是一样。这样我们就可以理解为什么， $I$ 与 $d{A}_o$ 两头形成的连线一定经过 $d{\omega }_h$ 圆锥的两边。

所以，图中 $d{A}_h^{\prime }$ 与 $d{A}_o$ 的半径的比值关系也等于 $\frac{IP}{IR}=\frac{1}{2}$ ，又因为圆的面积公式为 $\pi r^2$ ，和半径的平方成正比，所以 $\frac{d{A}_h^{\prime }}{d{A}_o}=\frac{1}{4}$

因为单元球的半径为1，所以连线 $OR=OQ=1$ ，由因为入射角等于反射角等于 $cos{\theta }_h$ ，所以 $OP=cos{\theta }_{h}OR=cos{\theta }_h$ 。由相似可以得到

结合之前的结果可得：

由于 $d{A}_h$ 相当于 $d{A}_h^{\prime \prime }$ 在与半角（法线）方向垂直的面上的投影，所以

所以：

我们代回到之前求得到 $f_{spec}({\omega }_i,{\omega }_o)$ 中得：

最后加上几何函数项G，得到完整的Cook-Torrance BRDF：

D：法线分布函数**(Normal Distribution Function)** ​

当一个入射光 $l$ 打到一个表面上，由于宏观表面是由无数个微表面构成，每个微表面的法线 $m$ 各不相同，所以得到的反射方向也各不相同。只有反射方向与视角方向 $v$ 一致时，这个反射光线才能被我们所看到。

也就是说一个入射光 $l$ 打到一个表面上后，不是所有的反射光线都能被我们所看到。那么我们该怎么确定有多少反射光线能被我们所接收到呢？我们可以先思考，当视角方向和入射光方向不变的时候，我们可以利用它们的半角向量 $h$ 与各个微表面法线 $m$ 做比较来判断是否能够被我们所接受。这时候我们就使用法线分布函数‌(Normal Distribution Function, NDF)，用于描述微表面模型中微观几何表面法线与半角向量同向的概率分布。

由于实际上不可能去模拟所有微表面的法线方向，而有的是该点处的表面法线方向，整体来说微表面的法线方向都是对宏观法线方向的一个扰动后的结果，也就是说微观的法线都是在宏观法线上稍微摆动了一下，如下图

NDF不是概率密度函数，也不是正态分布函数，而是一个面积的密度函数，这需要纠正的一点。 因为微平面的法线存在无数个，因此法线分布函数不能使用一个具体的向量值，而需要使用微分立体角限定一个范围。这样才可以宏观统计分布。

信息

归一化约束：

宏观表面中的所有微观表面的投影面积应当等于宏观表面的面积。

在上文中，我们有对 $dA$ 进行一个简单的推导，得到了 $dA({\omega }_h)=D({\omega }_h)d{\omega }_{h}dA$ ，这个式子的含义是 $dA$ 上法线位于立体角 ${\omega }_h$ 内所有微表面的总面积，因此NDF的本质是一个密度函数。我们考虑对上式在上半球进行积分，其实就是把 $h$ 的方向在上半球的每一个方向都计算一次相应的微表面面积，然后再累加起来。每个微表面的法线都是固定，在整个半球上积分也就是每个微表面都能够计算到。所以我们用 $d{A}_h$ 表示宏观表面内所有微表面的面积，用 $\mathrm{\Omega }$ 表示上半球范围于是有：

$$d{A}_h={\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)d{\omega }_{h}dA$$

然后我们再对其求一个投影，其结果应该等于宏观表面的面积，也就是 $dA$ ：

$$dA={\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)d{\omega }_{h}dAcos{\theta }_h={\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)d{\omega }_{h}dA(n·{\omega }_h)$$

由于 $dA$ 是宏观着色区域面积，不随着积分变化，所以可以作为常量将 $dA$ 提取出来，之后可以两边消去 $dA$ 得：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)(n·{\omega }_h)d{\omega }_h=1$$

即将 $D({\omega }_h)$ 投影到宏观表面上，会得到宏观表面的面积，其被约束等于1

换句话说， $D({\omega }_h)(n·{\omega }_h)$ 是被归一化的。

归一化意味着着色模型根据其角度大小按比例缩放镜面高光的强度，这样总反射能量在不同的表面平滑度下保持不变。总的来说也是为了保持PBR的能量守恒原则的。即 “入射多少能量，只要不考虑吸收，反射总能量在宏观上就是守恒的”。

更一般的，微表面与宏观表面在投影到垂直于任何视角观察方向 $v$ 的平面上的面积也是相等的：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)(v·{\omega }_h)d{\omega }_h=v·n$$

方程左边指的是微表面在垂直于视角方向的平面上的投影，右边指的是宏观表面在垂直于视角方向的平面上的投影。

需要注意的是在这里点乘 $(v·m)$ ，不能够限制为大于或等于零。因为涉及到正负抵消，在上图可看到很多重叠的微表面，对最终效果有所影响的还是可见微表面，即在每个重叠集合中最接近相机的微平面。这一事实表明了将投影的微观区域与投影的宏观几何区域相关联的另一种方法：可见微平面的投影面积之和等于宏观表面的投影面积。

也就是说我们只需要计算可见微表面即可。我们可以通过定义遮蔽函数(masking function)$G_1({\omega }_h,v)$ 来对其进行数学表达( $G_1$ 是 $G$ 几何函数的基础，只考虑视角方向的遮挡)，给出了沿着视角方向可见具有法线 ${\omega }_h$ 的微表面的比率。

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}{G}_1({\omega }_h,v)D({\omega }_h)(v·{\omega }_h{)}^{+}d{\omega }_h=v·n$$

注意这里是加上了+号的限制，也就是现在必须是大于零的，也就是说背面的微表面不予考虑。乘积 $G_1({\omega }_h,v)D({\omega }_h)$ 则表示了可见法线的分布，如下图：

那么在这里可以对法线分布函数做一个性质的总结，如下所示：

1. 微表面法线密度始终为非负值： $0\le D({\omega }_h)\le \mathrm{\infty }$
2. 微表面的总面积始终不小于宏观表面总面积： ${\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)d{\omega }_h\ge 1$
3. 任何方向微表面的投影面积和宏观表面一致： ${\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)(v·{\omega }_h)d{\omega }_h=v·n$
4. 若观察方向为法线方向，则其积分可以归一化。即 $v=n$ 时， ${\int }_{\mathrm{\Omega }}D({\omega }_h)(n·{\omega }_h)d{\omega }_h=1$

历史上主流的法线分布函数，按提出时间进行排序，可以总结为：

• Berry [1923]
• Beckmann [1963]
• Phong [1973]
• Blinn-Phong [1977]
• ABC [1989]
• GGX [2007] / Trowbridge-Reitz [1975]
• Shifted Gamma Distribution，SGD [2012]
• Trowbridge-Reitz（GTR）[2012]
• Student’s T-Distribution , STD [2017]
• Exponential Power Distribution , EPD [2017]

各向同性（Isotropic）NDF ​

Blinn-Phong 分布 ​

了解了NDF所需要的性质之后，问题是需要NDF满足什么？期望对于较光滑宏观表面当 $h=n$ 时也就是半角向量和微表面法线重合， $D(h)$ 达到最大值。当大部分的 $h$ 都偏向于 $n$ 时， $D(h)$ 为上涨趋势；当 $h$ 越来越偏离 $n$ 时， $D(h)$ 值也要相应变小。而且，当宏观表面粗糙度变高时， $D(h)$ 的值也会变小。此外，随着 $h·n$ 的值变小，衰减的越慢，有一个拖尾的效果最好，更符合想要的效果。

首先构造一个函数出来，首先想到的是 $(h·n{)}^{\alpha }$ ，也就是 $co{s}^{\alpha }{\theta }_h$ ，其中 $\alpha$ 是粗糙度系数，该值较大代表比较光滑，较小则代表粗糙表面，根据不同 $\alpha$ 的取值的 $D(h)$ 的表现如下：

从上图可知，对于同一个 $\alpha$ 值，随着 $\theta$ 值慢慢变大，对应的微表面法线和宏观表面法线重合的微表面越来越少，对应的 $D(h)$ 也缓慢衰减。当 $\alpha$ 的取值越大时，宏观表面越光滑，对应到当 $\theta$ 值变大时的 $D(h)$ 衰减加快。

但是还是不满足之前关于NDF的性质，首先需要一定满足 $\alpha$ 是偶数才可以满足 $0\le D({\omega }_h)\le \mathrm{\infty }$ 的特性。因为当 $\theta$ 大于90°的时候， $cos\theta$ 值为负数，此时 $\alpha$ 如果为奇数最终结果仍为负数，这在物理和数学上不允许。

于是我们引入了一种假设——高度场模型，所谓高度场的微表面模型就是微表面法线分布在宏观表面法线所在的半球上，即 $\theta$ 限制在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ ，故不存在朝下的微表面法线。满足这条假设约束的微表面模型则不会有 $\alpha$ 的限制。

还记得我们上面的归一化约束吗， ${\int }_{h\in \mathrm{\Omega }}(h·n{)}^{\alpha }(n·h)d{\omega }_h$ （等同于 ${\int }_{\mathrm{\Omega }}({\omega }_h·n{)}^{\alpha }(n·{\omega }_h)d{\omega }_h$ ）在非高度场模型中永远等于0，即便是在使用了高度场的模型中，结果也不为1，甚至当 $\alpha$ 取值不同时结果也不同。也就是说不满足能量守恒的原则。

因此我们需要一个归一化因子（normalization factor）$k$ ，即 ${\int }_{h\in \mathrm{\Omega }}k(h·n{)}^{\alpha }(n·h)d{\omega }_h=1$

接下来就开始推导 $k$ ，首先是将 $d{\omega }_h$ 转化，依托之前推导可知的 $d{\omega }_h=sin\theta d\theta d\varphi$ ，代入可得：

将一些常量提取出来并简化得到：

只需要推导 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{\alpha +1}{\theta }_{h}sin{\theta }_{h}d{\theta }_h$ 即可，我们直接使用换元法，令 $u=cos{\theta }_h$ ，则 $du=-sin{\theta }_{h}d{\theta }_h$ 代入积分，同时变换上下限：当 ${\theta }_h=0$ 时， $u=1$ ；当 ${\theta }_h=\frac{\pi }{2}$ 时， $u=0$ 。于是得到：

我们直接代回原式：

最后的法线分布函数为：

这就是 Blinn-Phong 分布，从一开始 $h·n$ 推导到了已经完成归一化的程度，其中 $\alpha$ 是 Blinn-Phong NDF 的“粗糙度参数”， $\alpha$ 高值表示光滑表面，低值表示粗糙表面。对于非常光滑的曲面值可以任意高(一个完美的镜面 $\alpha =\mathrm{\infty }$ )，并且通过将 $\alpha$ 设置为0可以实现最大随机曲面(均匀NDF)。但是这个参数非常不方便与美术人员的操作，因为带来的视觉变化十分的不均匀。经常让美术家们操纵“界面值”，即通过非线性函数从中导出 $\alpha$ 。例如： $\alpha =ms$ ，其中 $s$ 是0到1之间的艺术家操纵值， $m$ 是给定的电影或游戏中 $\alpha$ 的上限(比如上图8196)。当BRDF参数的行为在视觉上上不统一时，这种 "界面映射 "是很常用的方案。

如下图是不同 $\alpha$ 取值的 Blinn-Phong 分布的表现：

在 UE 中，存在着不一样的映射，将 $\alpha =2{\alpha }_p^{-2}-2$ ，得到新的式子：

这里对 $\alpha$ 取了一个倒数映射，带来的最大的好处就是，让粗糙度系数更符合直觉，原来 Blinn-Phong 分布的 $\alpha$ 越大越平滑，明明叫做粗糙度，效果却与名称完全相反，这样的映射修复了这一反直觉的现象。这种映射还可以使得在表现粗糙材质的时候，其高光“拖尾”效果更接近真实的物理测量数据，提升了视觉真实感。

我们看一下它在不同 $\alpha$ 取值的 $D(h)$ 的趋势图：

可以从图中看出，这样

还有一个重要的点，Blinn-Phong是不满足形状不变性(Shape Invariance) 的，关乎到后续的几何函数（这个很重要，后面会解释）

Beckmann 分布 + 斜率空间 ​

Beckmann NDF是光学界(optics community)在第一个微表面模型中使用的法线分布函数。当Cook-Torrance BRDF初步提出的时候也是选用 Beckmann，现在同样还在使用。Beckmann 归一化之后的法线分布方程如下：

由于 $co{s}^2\theta -1=-si{n}^2\theta$ ，所以这个式子可以进一步化简：

如下图是不同 $\alpha$ 取值的 Beckmann 分布的表现：

Beckmann分布在某些方面与Blinn-Phong分布非常相似。 两种法线分布的参数可以同样使用 $\alpha =2{\alpha }_p^{-2}-2$ 关系式。可从下图看出：

但是Beckmann分布是满足形状不变性的 NDF。

信息

在做证明之前，我们还需要补充一点知识

斜率空间

就是通过使用斜率来表示一个向量（微表面方向）

二维斜率空间表示

如下图所示，微表面的斜率为 $\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}$ ，法线 $h$ 的斜率 $k_h=\frac{y_h}{x_h}=\frac{1}{tan{\theta }_h}$ ，因为法线与微表面垂直，所以它们的斜率乘积为-1，即 $\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}·\frac{y_h}{x_h}=-1$ 。所以可得 $\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}=-tan{\theta }_h=-\frac{x_h}{y_h}$

三维斜率空间表示

在三维空间中，如果法线 $h$ 的斜率依旧用 $\frac{1}{tan{\theta }_h}$ 表示的话，会存在一个问题z：无法用斜率来确定一个唯一的法线。例如将微表面绕 $z$ 轴稍微旋转一点，此时法线 $h$ 发生了变化，但是其斜率依旧没变。所以如下图，我们设法线 $h$ 为 $(\mathrm{\Delta }{h}_x,\mathrm{\Delta }{h}_y,\mathrm{\Delta }{h}_z)$ ，在这里将法线分别投影到 $xz$ 和 $yz$ 平面上，得到 $OA$ 、 $OB$ 。

还是和之前一样的推导公式， $OA$ 的斜率 $\frac{\mathrm{\Delta }{h}_z}{\mathrm{\Delta }{h}_x}=\frac{1}{tan{\theta }_{h}cos{\varphi }_h}$ ， $OB$ 的斜率 $\frac{\mathrm{\Delta }{h}_z}{\mathrm{\Delta }{h}_y}=\frac{1}{tan{\theta }_{h}sin{\varphi }_h}$

设微表面和 $xz$ 平面的相交线为 $L$ ，即图中微表面上的红色虚线。因为微表面平面方程（经过原点）为：

$$\mathrm{\Delta }{h}_{x}x+\mathrm{\Delta }{h}_{y}y+\mathrm{\Delta }{h}_{z}z=0$$

又因为 $xz$ 平面方程为 $y=0$ ，代入可以求得交线 $L$ 满足的方程：

$$\mathrm{\Delta }{h}_{x}x+\mathrm{\Delta }{h}_{z}z=0$$

可以求得其斜率为 $\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }x}=-\frac{\mathrm{\Delta }{h}_x}{\mathrm{\Delta }{h}_z}=-tan{\theta }_{h}cos{\varphi }_h$

同理，可以求得， $yz$ 平面与微表面的相交线的斜率为 $\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }y}=-\frac{\mathrm{\Delta }{h}_y}{\mathrm{\Delta }{h}_z}=-tan{\theta }_{h}sin{\varphi }_h$

三维空间中的法线可以通过它所在的微表面与 $xz$ 与 $yz$ 平面的相交线的斜率组合成的向量来定义，即：

$$(-tan{\theta }_{h}cos{\varphi }_h,-tan{\theta }_{h}sin{\varphi }_h)$$

由于斜率和法线之间的关系，斜率可以作为法线的另一种参数化，在 $z>0$ 的半球，即满足高度场模型下，给定任何向量，可以将其视为法线并找到垂直于它的表面的斜率。斜率空间 就是所有可能的斜率值的二维空间。由于斜率可以是任何实数，所以斜率空间只是实数平面。

将斜率空间可视化的一个好方法是将其与平面 $z=1$ ，即半球顶部相联系。 然后在原点的向量可以通过与平面相交来转换为斜率空间。

这里引入了一个符号 $\tilde{n}$ 表示斜率空间中与三维向量 $n$ （也就是 $h$ ）相对应的二维向量。

想象在三维空间的原点 $(0,0,0)$ 放一个灯泡，在高度 $z=1$ 的位置放一张无限大的透明玻璃板（即平面 $z=1$ ）。
现在，空间中任意一条朝上的法线向量 $v$ ，比如 $(v_x,v_y,v_z)$ ，就像一束光。我们沿着它的 $z$ 方向把它“拉长”，直到它击中那张玻璃板。因为玻璃板的高度是 1，所以击中点的 $z$ 坐标必须是 1；了把原来的向量 $v$ 拉到 $z=1$ 的高度，我们需要把整个向量除以它自己的 $v_z$ （即缩放倍数 $\frac{1}{v_z}$ ），那么击中点的坐标为： $(\frac{v_x}{v_z},\frac{v_y}{v_z},1)$ 。这里的可以看作为调整向量取负后的 $x$ 、 $y$ 分量，可以将斜面想象为倒置的 $x$ 、 $y$ 轴来解决这个问题，也就是对 $x$ 、 $y$ 取反方向。

因此可以通过将每个点投影到远离原点直到它碰到平面来想象半球被放大并拉伸到平面上。这在单位向量之间建立了双射(一对一映射， $z>0$ ，并且点在平面上)

正式地说，任意向量的斜率空间参数化 $v$ 与 $v_z>0$ 的情况下可定义为：

$${\tilde{v}}_x=-\frac{v_x}{v_z}$$$${\tilde{v}}_y=-\frac{v_y}{v_z}$$

这假设向量是向上的，因此必须满足 $v_z>0$ 。它们不能区分向上和向下的向量，因为斜率没有方向概念，反转法线仍然得到相同的斜率。

从斜率转换回单位法向量也很简单，把拉伸后的向量进行一个归一化即可，公式如下：

$$v=normalize(-{\tilde{v}}_x,{\tilde{v}}_y,1)$$

单位向量的另一个常见参数化是极坐标 $(\theta ,\varphi )$ 。计算出斜率和极坐标之间的转换是很简单的，我们定义极坐标，使得 $\theta$ 从 $+z$ 轴向下测量， $\varphi$ 从 $+x$ 轴逆时针测量，就是我们上面那张三维空间的图一样的定义。

极坐标和 $3D$ 单位向量之间的转换：

$\theta =acos(z)$$\varphi =atan2(y,x)$

$x=sin\theta cos\varphi$$y=sin\theta sin\varphi$$z=cos\theta$

极坐标空间和斜率空间的转换如下：

$\theta =atan(\sqrt{{\tilde{x}}^2+{\tilde{y}}^2})$$\varphi =atan2(-\tilde{y},-\tilde{x})$$\tilde{x}=-tan\theta cos\varphi$$\tilde{y}=-tan\theta sin\varphi$

为什么需要斜率空间

现在已经了解了如何定义斜率空间并从中来回转换。但是为什么有用呢？为什么我们要以这种方式表示向量或函数？

在微表面BRDF理论中，为简单起见通常假设微表面是一个高度场(对于许多日常材料来说，这是一个非常合理的假设)。如果微表面是一个高度场，那么它的法线被限制在上半球。斜率空间非常适合精确参数化上半球。

从性能的角度来看，斜率空间的转换成本也比极坐标低得多，这使得它更适合在着色器中使用。它只需要一些除法或归一化，而不是一堆正三角函数或反三角函数。

与单位向量的其他表示相比，斜率空间也没有边界。斜面的原点(0, 0)表示平面法线，越远斜率越极端，但不能使平面倒置或产生无效法线。因此可以在斜率空间中自由地对向量进行各种操作，而不必担心超出任何界限。

关于斜率空间的另一个有用的事实是，表面的许多线性变换如缩放或剪切都可以简单地映射到斜率空间的变换。例如将一个表面沿其 $z$ 轴按因子 $\alpha$ 缩放表面会导致其法向量的 $z$ 分量按 $\frac{1}{\alpha }$ 缩放（由于法线采用逆转置），但由于 $n_z$ 在斜率空间的定义中是分母，所以我们可以得出表面的斜率按 $\alpha$ 缩放。

例如：二维表面中，当表面在 $x$ 轴方向上发生拉伸 $\lambda$ 倍。法线变化为 $normalize(\frac{x_h}{\lambda },y_h)$ ，法线的斜率变化为 $k_h=\lambda \frac{y_h}{x_h}=\lambda \frac{1}{tan{\theta }_h}$ ，则微表面斜率变为 ${\tilde{h}}^{\prime }=\frac{1}{\lambda }\tilde{h}$

斜率空间在NDF中的应用

微表面 BRDF 的关键要素之一是它的法线分布函数（NDF），而斜率空间的关键用途之一正是定义NDF。由于斜率空间是一个无界的二维平面，我们可以像在任意二维域中那样，引入现成的一维或二维分布函数，并以各种方式操作它们。只要我们最终在斜率平面上得到一个有效的、归一化的概率分布（有时称为斜率分布函数，或 $P^{22}$ 函数），我们就能将其转换为以极坐标或向量形式表达的、具有正确归一化的NDF。

通俗来说就是半球面（NDF定义域）是扭曲的、有边界的，而斜率空间是平坦的、无界的二维平面。在平面上定义分布、做采样、做滤波，都比在球面上容易得多。但问题来了：平面上的分布不能直接拿来就用，必须经过一个严密的数学转换，才能变成物理正确的NDF。

雅可比行列式（The Jacobian）

在将分布函数从一个空间映射到另一个空间时，重要的是要记住，这些函数的值并非无量纲的数字；它们是相对于底层空间的面积或体积测度的密度。因此，仅仅通过改变变量来用新坐标表达函数是不够的；你还必须校正映射对体积的拉伸或挤压，这种拉伸或挤压可能随位置变化而变化。

假设我们有域 $A$ 上的概率密度 $p(a)$ ，映射到域 $B$ 上的密度 $p(b)$ ，必须保证概率总量守恒：

$$p(a)dA=p(b)dB$$

这表示在无穷小体积 $dA$ 中的概率量，映射后仍然等于 $dA$ 中的概率量。

这个等式可以改写为：

$$p(b)=p(a)\frac{dA}{dB}$$

这里的因子 $\frac{dA}{dB}$ 称为雅可比行列式，指的是包含变量从 $a$ 到 $b$ 变化的所有导数的雅可比矩阵 的行列式。 实际上，这是逆雅可比行列式，因为 $A\to B$ 的正雅可比行列式是 $\frac{dB}{dA}$ 。

什么是“逆雅可比”？ 如果映射 $A\to B$ 把局部面积拉伸了 2 倍（即 $\frac{dB}{dA}=2$ ），那么为了让密度乘以新面积后总量不变，新的密度必须变成原来的一半，即乘以 $\frac{dA}{dB}=\frac{1}{2}$ 。这个 $\frac{dA}{dB}$ 就是逆雅可比行列式。我们后面要算的，就是这个 $\frac{dA}{dB}$ 的精确数值

因此，当将斜率空间分布转换为 NDF 时，我们必须乘以适当的雅可比行列式。 但是我们如何找出那是什么？ 首先，我们必须记住，NDF 的定义不是半球立体角上的密度，而是平面上投影面积上的密度。 因此，仅仅找到从斜率空间到极坐标的雅可比行列式 是不够的； 我们还需要找到从极坐标到投影面积的雅可比行列式。

最简单的方法是使用微分形式的 Formalism (形式理论)

这里我们还需要引入一种新的运算——楔积（又称外积，符号： $\wedge$ ）

有向面积、叉乘以及楔积介绍

总之记住楔积是用来求面积的，并且有三个重要性质：

结合律： $(a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v})\wedge \overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w}+b\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}$

反交换： $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{u}$

反交换的延申： $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{u}=0$

第一步，计算极坐标下的法线方向 $(\theta ,\varphi )$ 对应的微表面，投影在水平面（ $xy$ 平面）上的真实面积是多少：

前面我们知道，极坐标转 $3D$ 单位向量的公式是： $x=sin\theta cos\varphi$$y=sin\theta sin\varphi$

我们先求全微分 $dx$ 和 $dy$ ：

$$dx=\frac{\partial x}{\partial \theta }d\theta +\frac{\partial x}{\partial \varphi }d\varphi =cos\theta cos\varphi d\theta -sin\theta sin\varphi d\varphi$$$$dy=\frac{\partial y}{\partial \theta }d\theta +\frac{\partial y}{\partial \varphi }d\varphi =cos\theta sin\varphi d\theta +sin\theta cos\varphi d\varphi$$

然后再做楔积 $\wedge$ 求面积（把变化量组合成有方向的面积）：

$$\begin{array}{rl}dB=dx\wedge dy& =(cos\theta cos\varphi d\theta -sin\theta sin\varphi d\varphi )\wedge (cos\theta sin\varphi d\theta +sin\theta cos\varphi d\varphi )\\ & =0+sin\theta cos\theta co{s}^2\varphi (d\theta \wedge d\varphi )-sin\theta cos\theta si{n}^2\varphi (d\varphi \wedge d\theta )-0\\ & =sin\theta cos\theta co{s}^2\varphi (d\theta \wedge d\varphi )+sin\theta cos\theta si{n}^2\varphi (d\theta \wedge d\varphi )\\ & =sin\theta cos\theta (d\theta \wedge d\varphi )(co{s}^2\varphi +si{n}^2\varphi )\\ & =sin\theta cos\theta (d\theta \wedge d\varphi )\end{array}$$

第二步，计算极坐标下的法线方向 $(\theta ,\varphi )$ 对应的微表面，投影在斜率空间上占多少面积：

前面我们知道，极坐标转斜率空间的公式是： $\tilde{x}=-tan\theta cos\varphi$$\tilde{y}=-tan\theta sin\varphi$

我们先求全微分 $d\tilde{x}$ 和 $d\tilde{y}$ ：

$$d\tilde{x}=\frac{\partial \tilde{x}}{\partial \theta }d\theta +\frac{\partial \tilde{x}}{\partial \varphi }d\varphi =-co{s}^{-2}\theta cos\varphi d\theta +tan\theta sin\varphi d\varphi$$$$d\tilde{y}=\frac{\partial \tilde{y}}{\partial \theta }d\theta +\frac{\partial \tilde{y}}{\partial \varphi }d\varphi =-co{s}^{-2}\theta sin\varphi d\theta -tan\theta cos\varphi d\varphi$$

然后再做楔积 $\wedge$ 求面积（把变化量组合成有方向的面积）：

$$\begin{array}{rl}dA=d\tilde{x}\wedge d\tilde{y}& =(-co{s}^{-2}\theta cos\varphi d\theta +tan\theta sin\varphi d\varphi )\wedge (-co{s}^{-2}\theta sin\varphi d\theta -tan\theta cos\varphi d\varphi )\\ & =co{s}^{-2}\theta tan\theta co{s}^2\varphi (d\theta \wedge d\varphi )-co{s}^{-2}\theta tan\theta si{n}^2\varphi (d\varphi \wedge d\theta )\\ & =co{s}^{-2}\theta tan\theta co{s}^2\varphi (d\theta \wedge d\varphi )+co{s}^{-2}\theta tan\theta si{n}^2\varphi (d\theta \wedge d\varphi )\\ & =co{s}^{-2}\theta tan\theta (d\theta \wedge d\varphi )\end{array}$$

第三步，求将密度从斜率空间转换到 NDF 形式的逆雅可比行列式 $\frac{dA}{dB}$ ：

$$\begin{array}{rl}\frac{dA}{dB}=\frac{d\tilde{x}\wedge d\tilde{y}}{dx\wedge dy}& =\frac{co{s}^{-2}\theta tan\theta (d\theta \wedge d\varphi )}{sin\theta cos\theta (d\theta \wedge d\varphi )}\\ & =\frac{1}{co{s}^4\theta }\end{array}$$

最后我们就可以用这个雅可比行列式去得到法线分布函数和斜率分布函数的关系：

$$D(h)=\frac{P^{22}(\tilde{x},\tilde{y})}{co{s}^4\theta }$$

如果同时考虑到粗糙度 $\alpha$ 的话，那么对于各项同性的 BRDF 而言，法线分布函数和斜率分布函数分别为 $D(h,\alpha )$ 和 $P^{22}(\tilde{x},\tilde{y},\alpha )$

Beckmann 分布的推导：

既然我们学习了斜率空间，就从斜率空间开始思考。前面我们学了，在斜率空间可以用一组二维向量 $(\tilde{x},\tilde{y})$ 来表示一个微表面中的法线。我们期望当 $\tilde{x}=0$ 和 $\tilde{y}=0$ 的时候，也就是微表面法线与宏观法线重合的时候， $D(h)$ 达到最大值。当大部分的 $\tilde{x}$ 和 $\tilde{y}$ 偏向于 0 时， $D(h)$ 为上涨趋势；当的 $\tilde{x}$ 和 $\tilde{y}$ 越来越偏离 0 时， $D(h)$ 的值也要相应变小。而且当宏观表面粗糙度变高时， $D(h)$ 的值也要相应变小。此外，随着 $\tilde{x}$ 和 $\tilde{y}$ 的值越来越偏离 0，衰减的越慢。

那么满足这样的函数，我们大概第一个想到的就是 “二维高斯分布” （二维正态分布）。没错，Beckmann 分布就是基于二维高斯分布 推导的。我们先来看看二维高斯分布的完整公式：

这个公式看起来很可怕吧，是的，这很可怕。不过我们稍微分析一下，就能化简成很简单的公式。

其中 ${\mu }_1$ 和 ${\mu }_2$ 是这个二维高斯分布的中心点的 $xy$ 坐标，也就是说，这个二维高斯分布的中心点也就是最大值所在地为 $({\mu }_1,{\mu }_2)$ ，在斜率空间中，我们宏观法线所在位置是 $(0,0)$ ，所以 ${\mu }_1={\mu }_2=0$ 。

而 ${\sigma }_x$ 和 ${\sigma }_y$ 是控制分布沿着 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的散开程度， $\sigma$ 越大，曲线越胖，数据越分散，表面越粗糙。这个就是我们的粗糙度系数，由于我们这是各向同性，所以 ${\sigma }_x={\sigma }_y=\alpha$ 。

最后一个 $\rho$ 值是 $x$ 与 $y$ 的相关系数，取值在 $[-1,1]$ ，由于这里是各向同性， $x$ 与 $y$ 相互独立，无线性相关性，所以 $\rho =0$ 。

这里我们的 $x$ 与 $y$ ，也要换成斜率空间中的 $\tilde{x}$ 与 $\tilde{y}$

我们把这些值代入，可得：

我们进一步对方程做优化。我们把与可调节的系数，即粗糙度系数 $\alpha$ ，有关不变系数优化掉，也就是用 ${\alpha }^2$ 替换掉原来的 $2{\alpha }^2$ 。顺便换成 $P^{22}$ 来表示斜率分布函数得：

现在我们的方程就与一开始的庞然巨物相比简单了很多。

前面我们学习到，在斜率空间中， $\tilde{x}=-tan{\theta }_{h}cos{\varphi }_h$ ， $\tilde{y}=-tan{\theta }_{h}sin{\varphi }_h$ ，代入到公式中：

我们现在所求的是在斜率空间下的分布函数，我们需要将其转换到 $3D$ 向量空间，也就是将斜率分布函数转换为法线分布函数，使用之前求得的逆雅可比行列式 $\frac{dA}{dB}=\frac{1}{co{s}^4\theta }$ ：

这就是 Beckmann 分布函数的推导，不过推导到现在还不要着急结束，我们还需要证明其是否满足归一化约束。先回顾一下会用的结论，归一化约束 ${\int }_{\mathrm{\Omega }}D(h)(n·h)d{\omega }_h=1$ ，立体角转化 $d\omega =sin\theta d\theta d\varphi$ 。